Заслуженный артист России (1997). В 1979 году окончил Высшее Театральное училище имени Б.В. Щукина при театре имени Евг. Вахтангова (курс А.А. Казанской). С 1979 года — в труппе театра «Ленком». Отец — известный артист Евгений Павлович Леонов (1926-1994). Мать — Ванда Владимировна Леонова (в девичестве Стоилова) — сотрудник литературной части театра «Ленком».
Сын Андрея Леонова — Евгений (21 год) учится в театральном институте в Стокгольме.